|
Примеры решений дифференциальных уравнений
Решаем дифференциальное уравнение:
Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:
Вычисляем вспомогательную фунцию:
Вычисляем:
Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:
Интегрируем левую и правую часть. Получим:
Выразим искомую функцию y(x):
Записываем финальный ответ:
Выполним проверку. Подставим полученную функцию y(x) в исходный диффур.
Упрощаем:
Значение правой части диффура:
Выражения должны быть математически идентичны (с точностью до формы записи).
|
Решаем дифференциальное уравнение:
Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:
Разделим все уравнение на y2. Получили:
Делаем замену переменных.
Тогда уравнение можно записать как:
Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решим его.
-
Решаем дифференциальное уравнение:
Вычисляем вспомогательную фунцию:
Вычисляем:
Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:
Интегрируем левую и правую часть. Получим:
Выразим искомую функцию w(x):
Записываем решение уравнения:
|
Зная w(x) найдем y(x):
Записываем финальный ответ:
Выполним проверку. Подставим полученную функцию y(x) в исходный диффур.
Упрощаем:
Выражение, записанное выше, это то, что получится при подстановке y(x) в левую часть диффура.
А теперь посмотрим что получится при подстановки y(x) в правую часть диффура:
Упрощаем:
Выражения должны быть математически идентичны (с точностью до формы записи).
|
- Решаем дифферениальное уравнение:
Упростим выражение, собрав коэффициенты при dx и dy:
Обозначим через P(x,y) коэффициент при dx
Обозначим через Q(x,y) коэффициент при dy
Проверяем равенство:
Равенство (2) выполняеться, значит уравнение (1) - это уравнение в полных дифференциалах
Ответ ищем в виде функции  :
Предварительный ответ уже получили, надо найти функцию 
Вспоминаем, что:
где
Запишем равенство (3) в явном виде
Выразим функцию 
Финальный ответ
|
- Решаем однородное дифференциальное уравнение:
Решение ищем в виде:
Подставляем в исходное уравнение:
Дифференцируем экспоненту, а затем сокращаем на exp(x·z). Получим характерестическое уравнение:
Решаем характерестическое уравнение. Получим два корня:
Корни представляют собой два одинаковых действительных числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:
где С1 и С2 произвольные константы.
Общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой сумму фундаментальных решений:
Раскладываем и группируем (если это возможно) слагаемые в правой части таким образом, чтобы удобнее было решать:
Решаем дифференциальное уравнение:
Частное решение данного уравнения:
показать решение
Анализируем правую часть неоднородного уравнения:
Максимальная степень полиномов 1.
Решение ищем в виде функции yHP (HP - неоднородное решение):
Основная задача теперь звучит так: надо найти неизвестные коэффициенты c1,c0.
Подставляем yHP вместо y в левой части исходного дифференциального уравнения и дифференцируем. После дифференцирования получили:
Полученное выражение будем называть yHP подстава.
Приравниваем yHP подстава к правой части исходного диффура:
Из этого выражения попробуем определить неизвестные коэффициенты c1,c0.
Сгруппируем слагаемые в yHP подстава по степеням х :
Сгруппируем слагаемые правой части уравнения по степеням х :
Собираем коэффициенты ( это то, что в квадратных скобках)
при одинаковых множителях (это exp,степень x) от yHP подстава
и от правой части диффура. Получим линейную систему уравнений:
Решаем данную систему, получили следующие значения:
Вспоминаем как мы определили yHP и подставляем туда значения c1,c0.
Делаем проверку.
Подставим yHP в исходный диффур и продиффиренцируем. Дожно получиться выражение стоящее справо от знака равенста.
После подстановки yHP в диффур мы получили:
Исходное значение правой части диффура:
Выражения должны быть идентичны.
|
Решаем дифференциальное уравнение:
Частное решение данного уравнения:
показать решение
Анализируем правую часть неоднородного уравнения:
Максимальная степень полиномов 0.
Решение ищем в виде функции yHP (HP - неоднородное решение):
Основная задача теперь звучит так: надо найти неизвестные коэффициенты c0,s0.
Подставляем yHP вместо y в левой части исходного дифференциального уравнения и дифференцируем. После дифференцирования получили:
Полученное выражение будем называть yHP подстава.
Приравниваем yHP подстава к правой части исходного диффура:
Из этого выражения попробуем определить неизвестные коэффициенты c0,s0.
Сгруппируем слагаемые в yHP подстава по степеням х :
Сгруппируем слагаемые правой части уравнения по степеням х :
Собираем коэффициенты ( это то, что в квадратных скобках)
при одинаковых множителях (это exp, sin, cos, степень x) от yHP подстава
и от правой части диффура. Получим линейную систему уравнений:
Решаем данную систему, получили следующие значения:
Вспоминаем как мы определили yHP и подставляем туда значения c0,s0.
Делаем проверку.
Подставим yHP в исходный диффур и продиффиренцируем. Дожно получиться выражение стоящее справо от знака равенста.
После подстановки yHP в диффур мы получили:
Исходное значение правой части диффура:
Выражения должны быть идентичны.
|
Записываем финальный ответ:
|
- Решаем дифференциальное уравнение:
Уравнение однородное, порядок уравнения 2.
Сделаем ряд преобразований:
Приведем уравнение к виду:
Вводим новую функцию z(x):
Тогда:
В уравнении (1) делаем замену:
и
Получим:
Интегрируем:
Получим:
Делаем обратную замену:
|
|
